Matemàticas

martes, 11 de marzo de 2014

Ángulos Y diagonales en Polígonos Convexos

Ángulos

La suma de los ángulos, $a_n$ , de un polígono de n vértices es:

$a_n = (n - 2) \cdot \pi$ radianes $= (n - 2) \cdot 180$ grados

Esto se demuestra por inducción:

Para iniciar la inducción se constata que es cierto para el triángulo porque sus ángulos suman 180°,
luego se observa que un polígono cualquiera de $n+1$ vértices (V₁, V₂ ..., V_n+1, $n > 3$ ), siempre se puede descomponer en uno de n vértices (V₁, V₂ ..., V_n), con sus ángulos sumando $(n-2)\cdot\pi$ radianes por la hipótesis de inducción, y un triángulo (V₁, V_n, V_n+1) cuyos ángulos suman π radianes.

La suma total es $(n-2)\cdot\pi + \pi = (n-1)\cdot\pi$ que corresponde a la fórmula con $n+1$ vértices.

Descomposición de un polígono en triángulos.png

Llegamos al mismo resultado considerando que en un polígono de n lados podemos trazar (n-3)diagonales desde un mismo vértice, con lo que lo descomponemos en (n-2) triángulos. Puesto que para cada triángulo la suma total de sus ángulos vale 180º, obtenemos que los ángulos del polígono suman $a_n=(n-2)\cdot 180^\circ$

Convexidad

Un polígono es convexo si y sólo si ninguno de sus ángulos es mayor que 180°. En este caso, el polígono es una intersección de n semiplanos (n sigue siendo el número de vértices, y también el de aristas), lo que permite, en un determinado sistema de coordenadas, caracterizar al polígono por un sistema de inecuaciones.

Diagonales

El número de diagonales, d, de un polígono de n lados es:

$d = \frac{n \cdot (n - 3)}{2}$

Por ejemplo, un triángulo no tiene diagonales (si $n = 3$ entonces $d = 0$ ), un cuadrilátero tiene dos (si $n = 4$ entonces $d = 2$ ), y un pentágono cinco.

La prueba es sencilla: cada vértice (son n) conecta vía una diagonal con todas las demás salvo ella misma y sus dos vecinas (son entonces $n - 3$ destinos posibles). Esto daría $n \cdot (n - 3)$ diagonales, sin embargo una misma diagonal es contada dos veces, porque por ejemplo la diagonal [AC] es también la diagonal [CA], por tanto hay que dividir por dos el último valor.

sábado, 8 de marzo de 2014

Angulos y Diagonales en los ploligonos convexos

Angulos
Un polígono es convexo si todos sus ángulos interiores son menores de 180º y decimos que es
un polígono cóncavo si al menos uno de sus ángulos interiores mide más de 180º.

Figura: Polígono Convexo y Polígono Regular

Figura: Polígono Convexo y Polígono Regular

Diagonal
Las Diagonales de un poligono son los segmentos que unen dos vertices no consecutivos

Numero de Diagonales de un Poligono:
*n= Nùmero de lados de un Poligono
Numero de Diagonales =n(n-3)2


N=3Triangulo Equilátero	N= 4 Cuadrado .	N=5Pentágono Regular	N=6Hexágono Regular	N=8Octógono Regular.	N=10Decágono Regular	N=15Pentadecágono Regular	N=17Heptadecágono Regular