Ángulos Y diagonales en Polígonos Convexos

Ángulos

La suma de los ángulos, , de un polígono de n vértices es:

 radianes  grados

Esto se demuestra por inducción:

• Para iniciar la inducción se constata que es cierto para el triángulo porque sus ángulos suman 180°,
• luego se observa que un polígono cualquiera de  vértices (V₁, V₂ ..., V_n+1, ), siempre se puede descomponer en uno de n vértices (V₁, V₂ ..., V_n), con sus ángulos sumando  radianes por la hipótesis de inducción, y un triángulo (V₁, V_n, V_n+1) cuyos ángulos suman π radianes.

La suma total es  que corresponde a la fórmula con  vértices.

Llegamos al mismo resultado considerando que en un polígono de n lados podemos trazar (n-3)diagonales desde un mismo vértice, con lo que lo descomponemos en (n-2) triángulos. Puesto que para cada triángulo la suma total de sus ángulos vale 180º, obtenemos que los ángulos del polígono suman 

Convexidad

Un polígono es convexo si y sólo si ninguno de sus ángulos es mayor que 180°. En este caso, el polígono es una intersección de n semiplanos (n sigue siendo el número de vértices, y también el de aristas), lo que permite, en un determinado sistema de coordenadas, caracterizar al polígono por un sistema de inecuaciones.

Diagonales

El número de diagonales, d, de un polígono de n lados es: 

Por ejemplo, un triángulo no tiene diagonales (si  entonces ), un cuadrilátero tiene dos (si  entonces ), y un pentágono cinco.

La prueba es sencilla: cada vértice (son n) conecta vía una diagonal con todas las demás salvo ella misma y sus dos vecinas (son entonces  destinos posibles). Esto daría  diagonales, sin embargo una misma diagonal es contada dos veces, porque por ejemplo la diagonal [AC] es también la diagonal [CA], por tanto hay que dividir por dos el último valor.