Matemàticas: Calcular Areas

Existen diversas fórmulas para calcular el área de un polígono regular, dependiendo de los elementos conocidos.

En función del perímetro y la apotema

El área de un polígono regular, conociendo el perímetro y la apotema es:

$A = \frac {P \cdot a}{2}$

n función del número de lados y la apotema

Sabiendo que:

$A_p = \frac {L \cdot n \cdot a} {2}$

Además $\delta = \frac {\pi} {n} \$ , ya que es la mitad de un ángulo central (esto en radianes).

Observando la imagen, es posible deducir que:

$L = 2 \cdot a \cdot \tan \left ( \frac {\pi} {n} \right )$

Sustituyendo el lado:

$A_p = \frac { \left ( 2 \cdot a \cdot \tan \left ( \frac {\pi} {n} \right ) \right ) \cdot n \cdot a } {2}$

Finalmente:

$A_p = a^2 \cdot n \cdot \tan \left ( \frac {\pi} {n} \right )$

Con esta fórmula se puede averiguar el área con el número de lados y la apotema, sin necesidad de recurrir al perímetro.

En función del número de lados y el radio[editar]

Un polígono queda perfectamente definido por su número de lados n, y el radio r, por tanto podemos determinar cual es su área, a la vista de la figura, tenemos que:

$L = 2 r \sin({\delta}) \;$

$a = r \cos({\delta}) \;$

donde el ángulo central es:

$\alpha = 2 \delta = \frac{2\pi}{n} \;$

sabiendo que el área de un polígono es:

$A_p = \frac{L \cdot n \cdot a}{2} \;$

y sustituyendo el valor del lado y la apotema calculados antes, tenemos:

$A_p = \frac{2 r \sin({\delta}) \cdot n \cdot r \cos({\delta})}{2} \;$

ordenando tenemos:

$A_p = \frac{n r^2 \cdot 2 \sin({\delta}) \cos({\delta})}{2} \;$

sabiendo que:

$2 \sin({\delta}) \cos({\delta}) = \sin({2 \delta}) \;$

resulta:

$A_p = \frac{n r^2 \sin({\alpha})}{2} \;$

o lo que es lo mismo:

$A_p = \frac{n r^2 \sin({\frac{2\pi}{n}})}{2} \;$

Con esta expresión podemos calcular el área del polígono, conociendo solamente el número de lados y su radio, lo que resulta útil en muchos casos.

Matemàticas

martes, 11 de marzo de 2014

Calcular Areas

En función del perímetro y la apotema

n función del número de lados y la apotema

En función del número de lados y el radio[editar]

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